1996 Giedrius Gelgotas baigė M. K. Čiurlionio menų gimnaziją (mokyt. J. Taškinas), 2000 - bakalauro ir 2003 - magistro studijas Lietuvos Muzikos ir teatro Akademijoje (dėst. V. Gelgotas). 2002-2003 Londono Karališkojoje muzikos akademijoje studijavo pas vieną žymiausių profesorių W. Bennett. 2006-2007 mokėsi Vienos muzikos ir vaizduojamojo meno universitete pas prof. B. Gisler - Haase. Atlikėjas dalyvavo meistriškumo kursuose įvairiose pasaulio šalyse pas tokius garsius profesorius kaip E. Pahud, W. Schulz, J. Khaner, P. Davies, C. Husted, L. Kovács, Ch. Larde, I. Clarke, J. C. Gerard ir B. Gisler-Haase.

G. Gelgotas yra laimėjęs 2-ą ir 3-ią vietas J. Pakalnio jaunųjų atlikėjų konkurse, iškovojęs 1-ą vietą respublikiniame „Yamaha" premijos konkurse ir 2-ą vietą A. Jurjanu (Latvija) tarptautiniame konkurse. Muzikantas dalyvavo Tarptautiniame kamerinių ansamblių konkurse (Illzach, Prancūzija), kur užėmė 3-ią vietą ir gavo du ypatingus apdovanojimus už geriausiai atliktą modernų kūrinį ir jaunosios žiuri prizą (su Lietuvos fleitų kvartetu), 1-ą vietą bei specialų prizą tarptautiniame H. Tomasi vardo medinių pučiamųjų instrumentų kvintetų konkurse (su Kristupo kvintetu).

G. Gelgotas yra pasirodęs kaip solistas ir kamerinės muzikos atlikėjas Vilniaus, Kauno, Pažaislio, Biržų, Palangos, Druskininkų, „Musica Ficta" (Latvija), „FIMU" (Prancūzija), „Gaidos", „Sugrįžimų" ir „Baroko kelio" festivaliuose. Taip pat dalyvavo tarptautiniame jaunimo orkestro festivalyje „Pacific Music Festival" (Japonija) bei „Bachakademie Stutgart" festivalyje (Vokietija).

Muzikantas yra Lietuvos Fleitų kvarteto ir Vilniaus Kristupo medinių pučiamųjų instrumentų kvinteto įkūrėjas. 2005 metais su šiuo kvintetu išleido kompaktinę plokštelę. 2006 metais įrašė sonatą fleitai su fortepijonu (su pianiste Indre Baikštyte) F. Latėno kūrybos kompaktinei plokštelei. Daug yra įrašęs Nacionalinio radijo fondams, grojęs solo su Lietuvos valstybiniu simfoniniu, Lietuvos kameriniu bei Šv. Kristoforo orkestrais. Kaip solistas ir kamerinių ansamblių dalyvis yra atlikęs nemažai asmeniškai jam parašytų kūrinių. Ir kaip solistas, ir su įvairiais ansambliais yra koncertavęs Japonijoje, Egipte, JAV, Armėnijoje, Ispanijoje, Estijoje, Suomijoje, Švedijoje, Danijoje, Vokietijoje, Austrijoje, Šveicarijoje, Italijoje, Prancūzijoje, Latvijoje, Rusijoje ir kt. G. Gelgotas yra apdovanotas Lietuvos Respublikos Švietimo ir mokslo ministerijos, Vilniaus miesto savivaldybės ir Lietuvos prezidento V. Adamkaus padėkos raštais.

Šiuo metu muzikantas yra Lietuvos nacionalinio operos ir baleto teatro orkestro artistas, Lietuvos muzikos akademijos meno aspirantūros studentas. Aktyviai koncertuoja solo, su Kristupo kvintetu, Lietuvos Fleitų kvartetu, Šv. Kristoforo orkestru ir kitose kamerinės muzikos grupėse. Britų fleitininkų asociacijos narys. Kairo (Egiptas) operos ir baleto teatro kviestinis solo fleitininkas. Dirba pedagoginį darbą muzikos mokykloje „Lyra" - G. Gelgoto mokinė tapo jau trijų respublikinių konkursų laureate. G. Gelgotas yra pakviestas asistuoti profesoriui W. Bennnett 2008 metų vasaros meistriškumo kursuose.